正弦

正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，“勾”、“股”是直角三角形的两条直角边。

正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。

正弦=股长/弦长

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。把直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。

现代正弦公式是

sin = 直角三角形的对边比斜边.

如图，斜边为r，对边为y，邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦无论a，y，r为何值，正弦值恒大于等于0小于等于1.

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数，它的定义域为全体实数。

特定正弦函数与椭圆的关系

关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：

半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到

r:圆柱半径

α:椭圆所在面与水平面的角度

c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）

以上为证明简要过程，则椭圆的周长与的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期，正好为一个圆的周长。

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即

（r为外接圆半径，D为直径）。

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 y 坐标等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 2π 或小于

的角度，简单地继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数:

对于任何角度 θ 和任何整数 k。

正弦函数（绿色）被对中心为原点的全圆的它的 11 次泰勒级数（红色）紧密逼近。

由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分方程

这就是正弦的微分方程定义。

正弦函数﹑余弦函数﹑正切函数﹑余切函数﹑正割函数与余割函数合称为三角函数。