偏微分方程

偏微分方程（Partial Differential Equation）是方程论的基本概念之一，其定义为：如果微分方程中的未知函数是多元函数，未知函数的导数是偏导数，则称其为偏微分方程。

一个含有未知函数的导数或微分的等式称为微分方程。如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称其为常微分方程；相反地，如果未知函数是多元函数，未知函数的导数是偏导数，则称其为偏微分方程，即偏微分方程是包含未知多元函数偏导数的一个等式。一般形式：一般地，含有

个自变量

的偏微分方程可写成如下的形式：

其中

是已知函数，

是未知函数，

中可以不显含自变量和未知函数，但是必须含有未知函数的某个偏导数。偏微分方程中出现未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶。

偏微分方程起源于微积分理论形成后不久，早在17世纪世纪末期，莱布尼茨（Leibniz）文章的推导过程中就已经出现了偏微分方程。在18世纪初，学者们开始结合物理问题研究偏微分方程，早期引起数学家们兴趣的是弦的振动问题。英国数学家泰勒在1713年至1715年导出了一根张紧的振动弦的基频。瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在30年代开始了对偏微分方程的研究。1734年，他在自己的著作中提出了特殊的偏微分方程——弦振动的二阶方程。1743年，法国数学家达朗贝尔（d’Alembert）在《论动力学》一书提出和总结力学中的达朗贝尔原理和虚功原理时，给出了特殊的偏微分方程，但是著作在当时并没有引起关注。后来，达朗贝尔在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，明确推导了弦振动方程，给出其通解的表达式，并提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式，由此开创了偏微分方程这一学科。随着对万有引力的研究，1752年，欧拉的论文中首次出现了位势方程。之后，拉格朗日（Lagrange）和勒让德（Legendre）对该方程的解进行了深入研究，并引出了勒让德多项式的概念。1785年，数学家拉普拉斯（Laplace）在发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状》中引进了标量函数

，并推导出

所满足的方程——位势方程，它后来被称为拉普拉斯方程。

欧拉

19世纪，随着物理学科研究的不断扩展，偏微分方程的重要性逐渐凸显，它出现了一些新的类型，已有类型的应用范围也在不断扩大。1807年，法国数学家傅里叶（Joseph Fourier）向巴黎科学院提交了关于热传导方程的论文，并断言任一函数都能够展开成三角函数的无穷级数。1822年，他又出版了《热的解析理论》一书，并指出任意周期函数都可以用正弦函数和余弦函数表示，提出了求解热传导方程的变量分离法。但是，这种思想缺乏严格的论证。1828年，英国数学家格林（George Green）在小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，引入了位势概念，把位势函数的概念移用到电磁学中，他求解位势方程解的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。1839年，德国数学家杜布瓦—雷蒙（Du Bois-Reymond）引入了偏微分方程的标准分类法，他将位势方程、热传导方程、波动方程分别称为椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程。至此，数学家们逐渐归纳清楚了二阶线性偏微分方程的类型。19世纪中期，数学家们通过对解的存在性问题的讨论进一步完善了偏微分方程理论。法国数学家柯西（Cauchy）于1848年在他的一系列论文中将阶数大于

的偏微分方程化为一阶偏微分方程组，然后讨论方程组解的存在性，并给出了证明存在性的优函数方法。1864年，数学家麦克斯韦（Maxwell）在英国物理学家法拉第（Michael Faraday）关于电磁实验的基础上提出了麦克斯韦方程组。之后，柯西的工作被俄国数学家柯瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya）独立地发展为非常一般的形式，并于1875年发表了论文《偏微分方程理论》，其中有关偏微分方程解的存在唯一性定理后来被称为柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理。

柯西

20世纪，偏微分方程理论的研究得到了丰富。1990年，数学家希尔伯特（Hilbert）提出的“23个数学问题”中，有3个问题与偏微分方程有关。而偏微分方程的定解问题在19世纪末已有许多解法，但是其系统理论到20世纪才趋于成熟。法国数学家阿达马（Hadamard）在20世纪初建立了偏微分方程定解问题适定性的概念，被誉为二阶线性偏微分方程的总结者，而且他还根据二阶方程的特征表达式对方程进行了分类。为了研究不同类型方程的共性，阿达马还提出了一般方程基本解的概念，该概念成为了偏微分方程理论的基础。20世纪30年代以来，各种泛函分析方法被应用于偏微分方程的研究，不仅可以讨论二阶方程，并且发展了高阶方程的理论，在一般的一阶方程组中也取得了许多成果。第二次世界大战之后，偏微分方程理论进一步取得了飞快的发展，并收获关注和重视。20世纪50年代中期，赫尔曼德尔（Lara Valter Hörmander）、玛尔格朗日（Bernard Malgrange）与埃伦普里斯（Leon Ehrenpreis）独立证明了常系数线性偏微分方程的可解性。但是，卢伊（Hans Lewy）在1957年举出了一个简单的反例，表明无穷次可微系数（甚至多项式系数）的线性方程可能没有解。1973年，费弗曼（Charles Louis Feferman）给出了非退化线性偏微分方程局部可解性的一个充分必要条件。20世纪末，随着计算机性能的提高，偏微分方程的数值解法得到了充分的发展和应用，各种数值求解软件使方程的求解变得简单快捷。2000年，美国克雷数学研究所将流动控制方程（纳维—斯托克斯方程）解的存在性与光滑性问题确定为千禧年七大数学难题之一。

费弗曼

定解问题：定解问题是求给定泛定偏微分方程（在某个区域内）并满足相应定解条件的解的问题。根据不同的定解条件，它一般可分为初值问题、边值问题和混合问题三类。适定性：偏微分方程的定解条件是为了确定偏微分方程的解对解函数附加的条件。偏微分方程的适定性是指其定解条件，具体有三个：（1）解的存在性；（2）解的唯一性；（3）解的稳定性。偏微分方程解的稳定性要求解随方程系数、边界条件和分析区域的变化是连续的。只要三者之一得不到满足时，则建立的偏微分方程不是适定的，不适定的偏微分方程不能合理反映所描述对象的物理本质。一般来说，导致偏微分方程不适定的因素主要有：（1）解不存在或定解条件过多；（2）解不唯一或定解条件过少；（3）定解条件与偏微分方程的型不匹配，或解随方程系数、边界条件和分析区域的变化不连续。例（验证方程的非适定性）：求解以下给定边界条件下的二维拉普拉斯方程的解：

解：用分离变量法求解，令

代入方程，利用定解条件可以得到方程的解为

该问题的解存在且唯一，但是其解并不可靠。因为当

增大时，解函数

将以

的速率增大，在

时，即使很小很小的

，解

也趋于

。但按边界条件，

。这表明，在

时，方程的解不连续，即解不能连续地依赖边界条件，所提的问题不适定。非适定性的原因在于：问题的控制方程是椭圆型的，必须给定封闭边界上完整的边界条件，问题才能适定。问题给定的边界条件只给了上半平面

上的条件，对上半平面

的条件并未给定，实际给定的是一个开边界条件，不符合求解方程的物理本质和数学特征。

初值问题：初值问题又称柯西问题，指只有初始条件无边界条件的定解问题。它是求满足偏微分方程及给定初始条件的解的问题，也是由偏微分方程的解在初始时刻的瞬时性态探讨它在以后时刻性态的问题。局部解的存在性：柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理是偏微分方程的一个普遍的存在定理。以

阶线性偏微分方程为例，柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理指对于柯西问题中分别是其复变元在原点附近的解析函数，

有唯一的在原点附近解析的解存在。该定理也适用于非线性的，以及方程组的情形。但是，都要求未知函数对

的最高阶导数已经解出。

特征：对于一个偏微分方程，并不是任何曲面都可以作为某个解的弱间断面，它必须满足一定条件，称满足此条件的曲面为特征曲面，简称为特征。特征超曲面：在一般的

阶线性偏微分算子

上，

是多项式，其象征为

，主象征为

。记

为

，

相应于以上结果是：对于超曲面有如果一个超曲面

适合，则称它是

的特征超曲面。特征集的超曲面：如果不是在

空间的某区域

中讨论而是在

中讨论它，即讨论

，

可以给出一个相应的定义：算子

的特征集为对于超曲面

其上每一点都有一个法线向量。如果把超曲面上一点与该点的法线向量合起来成为一个接触元素，那么特征曲面就是其一切接触元素均属于特征集的超曲面。次特征：次特征并非某一区域

中的一阶偏微分方程。但若考虑相应的一阶偏微分方程，则其也有自己的特征，即常微分方程组的积分曲线。这个积分曲线称为

的次特征。

按历史发展过程，偏微分方程分为线性偏微分方程、半线性偏微分方程、拟线性偏微分方程和完全非线性偏微分方程四种类型。

线性偏微分方程指所有未知函数及其导数都是线性的偏微分方程，即未知函数及其各阶偏导数的最高次数是一次的偏微分方程。一般形式为：

，其中

和

是

上的已知实函数。例如，波动方程

。

半线性偏微分方程指含未知函数的偏导数的项都是线性的非线性偏微分方程。它的一般形式为：

，其中

和

是

上的已知函数，至少有一个

不恒等于零，而

关于

不是线性的。例如，反应扩散方程

。

拟线性偏微分方程指未知函数的最高阶导数是线性的非线性偏微分方程。它的一般形式为：

，其中

和

是

上的已知函数，至少有一个

含有

中的项。例如，方程

。

完全非线性偏微分方程指未知函数的最高阶偏导数是非线性的非线性偏微分方程，即不能够写成上述3种情形之一的偏微分方程。例如，哈密顿—雅可比（Hamilton-Jacobi）方程

，这里

是

的非线性函数。

按方程形式分类，偏微分方程分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程3类。

椭圆型偏微分方程简称椭圆型方程，广泛应用于弹性力学中的平衡、渗流理论、势场论（静电场和引力场）、稳态温度场、浓度扩散等物理现象的描述。椭圆型方程的一般形式为：

，式中，当

时表示二维问题，当

时表示三维问题；

称为方程的源项，若源项等于零则该方程退化为位势方程，若源项不为零则该方程为泊松方程。

抛物型偏微分方程简称抛物型方程，又称热传导方程，该类型方程和椭圆型方程相比，主要多了一个一阶时间项。它广泛应用于描述多种物态性质的非稳态过程，如非稳态热传导、扩散、声学、电磁学振动等过程。抛物型方程的一般形式为：

。

双曲型偏微分方程简称双曲型方程，又称波动方程，广泛应用于声波、流体波动及弦（膜）振动等现象的描述。双曲型方程的一般形式为：

。

两个自变量的一阶线性偏微分方程组的一般形式为：

其中，

都是区域

中关于

的充分光滑函数。方程组

也可以写为向量形式

其中，

，

是

阶矩阵，

。双曲型方程组：若方程组

在区域

内的一点的特征方向（即

的特征值）都是实的，则称它是双曲型方程组；若在

内的每一点都是双曲型的，则称它在

内是双曲型方程组；进一步地，若所有的特征方向实而互异，则称它是严格（狭义）双曲型方程组。椭圆型方程组：若方程组

在区域

内没有实的特征方向，则称它在该点或

内是椭圆型方程组；若在

内的每一点都是椭圆型的，则称它在

内是椭圆型方程组。混合型方程组：若方程组

在区域

内的某些部分是双曲型的，在其余部分是椭圆型的，则称此方程组在

内是混合型方程组。

解析解法所得的偏微分方程的解是严格意义上的解，解的结果体现为函数表达式。解析解法对区域限制比较苛刻，仅适用于如圆形、矩形、柱面、球面域等具有对称性的规则计算域，对于绝大多数不规则区域问题，很难得到确定的解析解。偏微分方程的解析解法有分离变量法、积分变换法、变量替换法、基本解方法和叠加原理法等。

分离变量法的基本思想是将多变量的偏微分方程化为一些单变量的常微分方程，求出满足泛定方程和边界条件的足够数量的特解，然后利用叠加原理，使之满足其他定解条件（如初始条件），从而得到原定解问题的解。分离变量法所得的解往往具有傅里叶级数形式，因此也被称为傅里叶法。分离变量法的数学基础是常微分方程的特征值理论与线性方程解的叠加原理，因此它适用于各种类型的线性偏微分方程。

积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法。对于多个自变量的线性偏微分方程，通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，再经过反演，就得到了原偏微分方程的解；同时，定解问题的解可以直接由积分给出。积分变换法分为傅里叶变换法与拉普拉斯变换法。傅里叶变换法：对偏微分方程两端应用傅里叶变换，方程就变为了常微分方程，解出像函数，再做傅里叶逆变换，就求出了原函数。傅里叶变换法可以用于求解偏微分方程的柯西问题，也可用来求解齐次的方程以及非齐次的方程，且对于双曲型、抛物型、椭圆型三类方程一般都适用。拉普拉斯变换法：通过初值问题的拉普拉斯变换将偏微分方程变为常微分方程，然后再求常微分方程的解，解的结果通过求拉普拉斯逆变换后即得到原方程的解。对于边值问题，利用拉普拉斯变换法求解偏微分方程时需要把空间坐标延拓到上半平面，这样可以先对一个偏微分方程的初值问题求拉普拉斯变换，把偏微分方程变为常微分方程，然后根据此常微分方程再对边值问题求拉普拉斯变换；经两次变换后原偏微分方程变成了代数方程，解此代数方程后同样经两次求拉普拉斯逆变换就可以得到原方程的解。拉普拉斯变换法适用于求解常系数线性的偏微分方程。

变量替换法利用复合函数求导的链式法则，通过变量替换把某些复杂的偏微分方程化简。它可以用于求解线性偏微分方程、伯努利方程、黎卡提方程等。例：将偏微分方程

化为

。解：作变换

，

，得

于是有

即

。

偏微分方程的基本解是一种具有特定奇异性的解，由它可以构造出一般的解。基本解方法也称点源函数法或格林函数法，其基本思想是：先求基本解，直接利用它求解相对应的非齐次方程（即非齐次项为任意一般函数的形式），其解（即任意一般源汇所产生的场）可表达为基本解与非齐次项的卷积。该方法适合求解线性偏微分方程。

偏微分方程的叠加原理指一个边界条件的存在不影响别的边界条件和初始条件所产生的解，并且不同边界条件产生的解之间不互相影响。即一系列边界条件的综合影响可以转化为先求每一个单独条件的解，然后把结果合并起来，仍然是待求问题的解。叠加原理法的基本思想是：将一个复杂问题的求解利用叠加原理化为几个较简单问题的求解，从而使问题得以解决。该方法可以用来求解齐次的方程以及非齐次的方程。

半解析方法是指把解析方法和数值方法结合起来，首先从数值结果和图形显示中获取定性启示，再试图用解析方法给予证明，然后又反过来用数值分析检验解析的推论。它具有表达式简单、计算量小且精度高的优点。偏微分方程的半解析方法主要有Adomian分解法、同伦摄动法等。

Adomian分解法又称为逆算符法，其基本思想是先把一个真解分解为若干个解的分量之和，再设法分别求出各阶解分量，然后让这些解分量的和以所需的精度进行逼近。求解中需要将方程算子按照算符分解为线性、非线性、确定及随机性各部分，然后根据已知初值或边值条件，从中设法找出方程中的其余部分解分量与部分解分量之间的关系，最后对非线性方程中最难处理的非线性项提出一个与之等价的多项式，用这个可以迭代求出的多项式代替方程中的非线性函数，此多项式称为Adomian多项式，它只由前面低阶的解分量及方程的非线性函数来共同确定。Adomian分解法适用于求解非线性偏微分方程，具有计算过程简单、收敛速度快、不需要其他近似条件等优势。

同伦摄动法的基本思想是通过行波变换并结合同伦摄动理论，把求解某些非线性偏微分方程的问题转化为求解常微分方程的初值问题，最后得出近似解。该方法简单而有效，可以任意选取初始猜测解，不依赖非线性方程中的小参数，同时可以简化复杂的求解过程；所获得的数值解能够很好地反映出方程解的一个实际精度，即所取得的数值解有实际意义；所获得的数值解的精度随迭代次数的加大而升高，这个过程可以通过计算机来实现进而避免复杂的实际运算量；可以分析研究一大类（包括复杂的藕合方程）实际的数学物理方程数值解问题，只需给出满足方程的初始条件而不需要任何的假设或者限制条件。同伦摄动法适用于求解非线性偏微分方程。

数值解法求解的一般思路是将难以处理的非线性问题转化为求解线性方程组。在转化过程中，会对解的精度产生影响，因此数值解法主要获得的是近似解。它的求解结果通常体现为问题区域内离散点的解分布，通过插值法来获得问题区域的整体解。偏微分方程的数值解法主要有有限差分法、有限体积法和有限元法。

有限差分法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。其基本思想是：将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。有限差分法所求出的差分方程组的解，就是微分方程定解问题的数值近似解。有限差分法可以基于泰勒展开式，思路明晰，很容易推广至高精度的格式。但它直接利用方程的微分形式，在遇到激波和界面等间断时易发生数值振荡。因此，该方法适用于求解边界条件较为规则的情况。

有限体积法是一种以代数方程的形式表示偏微分方程的方法。其基本思想是：关注定义域内的一系列离散单元的积分平均值，采用近似的方法求得单元各面上的通量，再利用微分方程的积分形式求得积分均值的演化。有限体积法的关键是在导出离散方程的过程中，需要对界面上的被求函数本身及其导数的分布作出某种形式的假定，用有限体积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数物理意义明确，计算量相对较小。但与有限差分法相比，有限体积法的缺点是难于建立二阶以上的三维高阶差分近似。该方法适合于处理可压缩流的问题。

有限元法是一种吸收了有限差分法中离散处理的内核，又采用了变分计算中选择逼近函数对区域进行积分的方法。其基本思想是：把求解域先划分为大量的单元，其中任意大小和方向的三角形网格尤其适用于二维的情况；三角形顶点称为节点，并与相邻单元相连接；然后将偏微分方程离散为代数方程组求解。该方法的优点是易于处理复杂几何区域，易于与各种边界条件组合使用，可同时提供节点和整个求解域内的解；缺点是求解速度较有限差分法和有限体积法慢。该方法适用于求解对称方程。

作为典型的功用型概念，偏微分方程无论是在自然科学方面还是在数学自身内部的需要方面，其背景都很强，这种特征在数学中可以说是独一无二的，主要体现在以下两个方面：（1）偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来。（2）偏微分方程作为一种语言，在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性，因为定律中许多更深刻的涵义只能通过方程的形式才能表达出来。特别是许多自然现象的规律从本质上讲就必须用数学方程来揭示。例如电磁相互作用的统一性只能用麦克斯韦方程体现出来；弱电相互作用统一理论必须用温伯格—萨拉姆（Weinberg-Salam）模型进行刻画。

偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，许多基本规律的数学形式都是偏微分方程。在研究较复杂的物理运动过程中，利用偏微分方程可以反映运动规律的量与量之间的关系，能够比较容易地建立起变量和未知函数及它的导数（或微分）之间的关系。例如，偏微分方程中的势方程可以用于描述重力场、静电场和静磁场随时空变化发展的过程，以及扩散现象、液体和气体的内摩擦现象等；麦克斯韦方程可以用于描述电磁场；薛定谔方程可以用于描述量子力学中势场内的粒子状态；热传导方程可以用来描述物体内温度分布等。

麦克斯韦方程用于描述电磁场

在经济学领域，偏微分方程中的布莱克—舒尔斯（Black-Scholes）模型可用于描述金融市场中的期权定价，但通常只运用于欧式期权，无法反映美式期权的价值。布莱克—舒尔斯模型充分揭示了期权权利金的决定因素，使人们深入了解期权，不仅从数学角度给期权合法化提供了依据，而且为人们在期权定价方面提供了便利和可操作性。例如在投资中，如果公司希望用短期闲散资金用来投资从而获利，如果要购买债券期权的话，可以通过预测未来短期内的理论平均值，然后利用布莱克—舒尔斯模型进行期权定价评估。

布莱克—舒尔斯期权定价模型在企业价值评估中的分析

偏微分方程也被应用于计算机科学领域，如，图像处理中的偏微分方程主要用于图像复原、边缘检测、图像分割、图像校准、运动物体跟踪、物体检测、光流、图像量化等方面。其基本思想是利用偏微分方程把图像变形，然后求解该方程来获得图形处理的期望结果。偏微分方程具有各项异性的特点，在图像处理中可以在去噪的同时很好地保持边缘。比如，在图像修复中，利用偏微分方程对图像进行建模，可以使得待修复区域周围的有效信息沿等照度线自动向内扩散，在保持图像边缘的基础上平滑噪声。

几种模型的去噪图像