刚体

刚体（Rigid Body）是一种理想的力学模型。刚体通常是指在运动中或受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。实际上，绝对的刚体是不存在的。

刚体是在力的作用下，内部任意两点的距离保持不变的理想物体。客观世界中并不存在受力而不变形的物体，刚体只是一种理想化的力学模型。在静力学中，力作用下物体的平衡是研究的主要问题。物体的微小变形对平衡研究的影响很小，因此，可以认为在外力作用下，物体的大小和形状都不会发生变化，此时将物体视为刚体进行分析可以简化计算。

刚体可以看成是由许多质点组成的质点系，每一个质点称为刚体的一个质元。因此，质点系的基本定理都适用于刚体。刚体作为质点系其特点是，刚体任意质元间距离保持不变，亦即内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变，即运动过程中不发生形变。

1775年，欧拉（Leonhard Euler）提出刚体的概念，他采用了反作用力的概念来隔离刚体用以描述铰[jiǎo]链等约束，并建立了牛顿-欧拉方程的矢量力学方法。欧拉把牛顿（Isaac Newton）第二定律推广到刚体，他应用三个欧拉角来表示刚体绕定点转动的角位移，又定义转动惯量，并导出了刚体定点转动的运动微分方程。这样就完整地建立了描述具有六个自由度的刚体普遍运动方程。对于刚体来说，内力所做的功之和为零。因此，刚体动力学就成为了研究一般固体运动的近似理论。

莱昂哈德·欧拉

自由度是指描述物体运动所需要的独立坐标数。自由刚体的自由度数为6，非自由刚体的自由度数小于6。刚体由无数个质点组成，但由于各质点间的距离保持不变，因而确定自由刚体几何位形的变数只要6个。空间直角坐标系又称笛卡尔直角坐标系，它是以空间一点O为原点，建立3条两两相互垂直的数轴，即X 轴、Y 轴和Z 轴。在三维空间中描述一个物体的位姿（即位置和姿态）需要6个自由度：沿空间直角坐标系O-XYZ 的X、Y、Z 3个轴平移运动T_x、T_y、T_z；绕空间直角坐标系O-XYZ 的X、Y、Z 3个轴旋转运动R_x、R_y、R_z。

刚体的六个自由度

刚体是由连续分布的质点所组成的质点组。物体、体积、面积或直线的质心指存在这样一个点它可使物体、体积、面积或直线通过此点支撑时，在所有的位置均可获得完美的平衡。对均质材料的对称物体，其质心在几何中心处。例如，均匀圆杆的质心在其直径的中心，并位于杆长一半的位置处；球的质心在其球体的中心。对非对称的实体、面积和圆弧，其质心可通过试验方法获得，或者使用公式计算获得。

内力总是成对出现，设质点系中质点A和质点B之间的相互作用为F_A和F_B。根据作用力与反作用定律有：

这时作用力的元功之和为：

即：

式中，

为点A相对于点B的矢径；

为A相对B的相对位移。刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力做功的和恒等于零。

内力做功示意图

在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行，这样的运动称为刚体的平动。刚体在平动过程中的任意一段时间内，所有质元的运动轨迹和位移都是相同的，并且在任意时刻，各个质元均具有相同的速度和加速度。所以，当刚体作平动时，可以选取刚体中任一质元的运动来表示出整个刚体的运动。由此，平动的刚体可当成一个质点来处理。

刚体的平动

若刚体上各个质元都绕同一直线作圆周运动，这样的运动称作刚体的转动，这条直线称为转轴（这根轴可在刚体之内，也可在刚体之外）。在刚体转动过程中，若转轴的方向或位置随时间变化，这样的运动称为刚体的非定轴转动，该转轴称为转动瞬轴，如车轮的滚动等。若转轴固定不动，即既不改变方向又不发生平移，这样的转动称为刚体的定轴转动，该转轴称为固定轴，如门绕门轴的转动、电机转子的转动等。

车轮朝左转动

刚体不受任何限制的任意运动称为刚体的一般运动。刚体的一般运动可视为两种刚体的基本运动形式的叠加：随基点O（基点可任选）的平动和绕通过基点O的瞬时轴的定点转动。例如，车轮的直线滚动、汽车的自动变速箱内的行星齿轮等的运动都可视为刚体的平面平行运动。

平面平行运动

方向余弦是表示向量方向的一种方法。由于两个单位向量的点积在数值上等于两个向量之间夹角的余弦，通过此方法得到的旋转矩阵也称为方向余弦矩阵。方向余弦矩阵不仅可用来描述作定点运动的刚体的位置，而且由于其本身的一些重要性质，其在刚体运动学和动力学中具有非常广泛的应用。

欧拉角是用于确定定点转动刚体位置的一组独立角参量，是一种直观的姿态表示方法。欧拉角的参量有三个，其物理意义是机体坐标系和地面坐标系之间的夹角，也被称作姿态角。三个姿态角用

来表示，分别表示机体坐标系转动到地面坐标轴系x、y、z轴重合时的旋转夹角。

四元数是在1943年由B.P.哈密顿（B.P.Hamilton）首先在数学中引人的，目的是力求像解决平面中的转力问题那样来解决刚体的空间定点转动问题，进而建立四元数理论。四元数是由1个实数单位1和3个虚数单位i、j、k组成的包含4个实元的超复数，其表达式为：

或

且满足：

式中：q₀为四元数的实数部分或标量部分；q₁、q₂、q₃均为实数。

该定理指出，对于基点固定的刚体，其运动可以分解为绕某个或多个转轴的转动。欧拉旋转定理表明，通过围绕固定于本体固连系和惯性系中的某个轴旋转刚体，刚体的姿态可以由任意给定定向改变为任意其他定向。

沙勒定理是欧拉旋转定律的一个推论。根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。所以，刚体运动可分为平移运动与旋转运动。刚体的现在位置与现在取向可以视为是从某个初始位置与初始取向经过平移与旋转而成。

工程力学的研究对象，依据所研究问题的目的不同而取不同的力学模型。当研究和分析各种力系的简化和平衡问题，研究结构的组成规律时，通常将被研究的物体视为刚体。很多物体的变形十分微小，当这种变形在可以不被考虑或暂时可以不被考虑的情况下时，可以把物体视为刚体。例如，房屋结构中的梁和柱，在受力后将分别产生弯曲变形和压缩变形。当研究其中的梁、柱的平衡以及整个房屋结构的平衡问题时，都不考虑它们受力后的这些微小变形，而将其看成不变形的刚体。这样，大大简化了其平衡问题的分析计算。

房屋结构示意图

处于固态的物质，有一定的形状和大小，但任何固体在外力作用下，其形状和大小都要发生变化。在物理学中，为了使问题简化，对外力作用下形变并不显著的物体，常用刚体这一模型来处理问题。物体是否可以看成刚体，要由研究问题的性质决定，一个物体在这个问题中可以看成刚体，而在研究它的其他一些运动时，则又不一定能把它看成刚体。例如，在研究地球的自转对地面上物体运动的影响时可以把地球看作刚体，而在研究地壳中地震波的传播时就不能将地球看作刚体。

在计算机图形学中，刚体动画用于模拟物体的运动和碰撞，如游戏、电影特效等。电影后期制作中，有相当多的特效镜头都需要针对刚体的运动进行模拟。小规模的模拟例如物体的掉落、数个物体的碰撞，需要为数不多的刚体在同一个场景中进行碰撞解算；大规模的模拟如爆炸、倒塌、破碎，则需要大量刚体在同一个场景中进行碰撞解算。模拟软件中，通过降低计算模拟体系的自由度和冻结高频振动来提高计算速度，使许多生命科学现象但无法通过全原子模拟得到的，在这里能够克服。对大的分子体系划分成的刚体，通过对所组成的原子受力的矢量运算完成，很大程度上又保证了计算所需要精度。还有许多机器部件的运动，舰船、飞机、火箭等航行器的运动以及天体运动等都与其息息相关。

影视后期工作站

微创拔牙：把牙齿看作是一个刚体，把牙槽窝看成是刚性限制。通过合理的力学设计，让牙齿在脱位过程中尽量减小对牙槽骨的压力，将牙槽骨的形变控制在最小范围，就能达到微创的目的。而牙齿的无阻力或微阻力脱位，减小了颌骨的受力，同时也就保护了颞[niè]下颌关节和颈椎。

牙根弧形与脱位阻力