库仑定律

库仑定律（英文名：Coulomb's law）是法国物理学家查尔斯·库仑（Charles Auguslin Coulomb）于1785年在提出的第一个实验定律。库仑定律是静止点电荷相互作用力的规律。内容是真空中两个静止点电荷之间相互作用的静电力F的大小与他们的带电量q₁、q₂的乘积成正比，与它们之间的距离r的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。其数学表达式为

库仑定律（Coulomb's law），是法国物理学家查尔斯·库仑于1785年提出的第一个实验定律，库仑定律是静电学的基础。库仑定律是真空中两个静止点电荷之间相互作用的静电力

的大小与他们的带电量

、

的乘积成正比，与它们之间的距离

的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。此外，库仑定律的表达式满足同号电荷相斥，异号电荷相吸的实验规律。

查利·奥古斯丁·库仑的肖像

如果在真空里有两个点电荷

和

，它们之间的距离为

，则

和

间的排斥力为：

。

库仑定律的数学表达式为

该表达式中，

为比例系数，在国际单位制（SI）中，实验测得，在真空中，

的数值和单位为

、

分别表示两个点电荷的电量(带有正、负号)，

表示两个点电荷之间的距离，

表示由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。通常还引入另一常量

来代替

，使得

于是，真空中的库仑定律又可写成

此式中，

为真空中的介电常数(或真空中的电容率)，在国际单位制中它的数值和单位为

为由施力电荷指向受力电荷的有向线段，

。从库仑定律的矢量式不难看出，当两个点电荷同号时，

与单位矢量

的方向相同，表现为斥力；当两个点电荷异号时，

与

的方向相反，表现为引力。且有，两个静止点电荷之间的相互作用力满足牛顿第三定律，即

。式中，

为

受到

的作用力，

为

受到

的作用力。

库仑定律示意图

但是，如果把包围某一点的小封闭曲面取作积分曲面，就可将此式转变为对于该点电场

的微分形式，如图1所示，以任意点

为基点，考虑一个正方体，它在

方向上的长度分别为

而此图是

轴垂直于纸面的情况。一般设

点的电场为

由位置决定，所以

都是

的函数。如设

电场的

分量分别为

，则

当考查由这正方体穿出的电通量时，由于穿过含

点的

面的电通量为

穿过含

点的

面的电通量为

所以相减后得

完全一样地，考虑含

点的

面和含

点的

面，再去考虑含

点的

面和含离开

的距离为

的一点的一点的

面。设通过此正方体整体向外部穿出的电通量为

，则

这个正方体是在真空中设想的，假如其内部没有电荷，则根据高斯定律可得

对上式应用，可变为

。

图1

库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律，电学的研究从此由定性进入定量阶段，是电学史上重要里程碑。

1687年，牛顿证明如果万有引力服从平方反比定律，则均匀的物质球壳对壳内物体应无作用。18世纪后半叶，牛顿力学已取得了辉煌胜利，科学家们借助于万有引力规律，对电力和磁力作了种种猜测。

物理学家牛顿

1759年，德国柏林科学院院士爱皮努斯研究中假设，电荷之间斥力和引力随带电物体距离减少而增大。但他并没有实际测量电荷间的作用力，因而只是一种猜测。次年，伯努利首先猜测，电力跟万有引力一样，服从平方反比定律，这种想法在当时具有代表性。1766年，英国化学家普利斯特利在好友富兰克林金属杯中软木小球实验的启发下，做实验证实了空心的带电导体对于空腔内部的电荷没有电力的作用。他领悟到这一实验事实与万有引力情形相似，并大胆猜测平方反比的关系。1769年，英国约翰·罗比逊通过实验首次确定，两个同种电荷间斥力与距离的2.06次方成反比；而两个异种电荷间引力与距离的平方反比要小一些，但这一结果到1801年才发表。在1770年代初期，英国的亨利·卡文迪许（Henry Cavendish）已经发现了带电体之间的力对距离和电荷的依赖性，但尚未发表。1785年，法国物理学家库仑用电斥力扭秤和电引力单摆实验证明电力遵从平方反比定律。

点电荷受到两个或者多个点电荷的作用

1770~1780年代，库仑确立了静电学的平方反比定律（库仑定律）。他选用很长的磁偶极子（这样可以认为磁偶极子的两个磁极是分开的）并完成了类似的实验。这两个定律可以写为

和

。其中，

和

是两个点状物体的电荷，

是二者的距离，

和

是两个磁板的强度。

和

是按SI单位制包含在定律中的常量。

库仑定律的矢量形式可以表示为

，其中

代表点电荷

对

的作用力，

代表

对

的作用力，

表由

指向

的单位矢，

代表由

指向

的单位矢（显然

）。只要把

和

理解为可正可负的代数量（区别于只取正值的算术量，如距离

），可以看出库仑定律的矢量形式可以同时反映静电力的大小及方向。

（1）库仑定律只适用于真空中的点电荷或能够按点电荷处理（如均匀带电球体或均匀带电球面）的情况；（2）库仑定律满足牛顿第三定律：两个相互作用的点电荷，作用力与反作用力满足大小相等，方向相反，作用在同一直线上的关系；（3）库仑定律适用于场源电荷静止、受力电荷运动的情况；（4）库仑定律只适用于点电荷之间的相互作用。

库仑定律的有效性需要满足三个条件：

1. 电荷必须具有球对称分布（例如，点电荷或带电金属球）；
2. 这些电荷不得重叠（例如，它们必须是不同的点电荷）；
3. 电荷必须相对于非加速参考系是静止的。

库仑定律没有解决电荷间相互作用力是如何传递的。有观点认为库仑力不需要接触任何媒介，也不需要时间，就能够由一个物体立即作用到相隔一定距离的另一个物体上，这种观点叫作超距作用观点。而另一种观点认为这类力是“近距作用”，电力通过一种充满在空间的弹性媒介——以太来传递。物理学的发展证明，“超距作用”的观点是错误的，且“近距”观点所假定的以太也是不存在的，电荷之间存在相互作用力是通过电场来传递的，电荷之间相互作用的传递速度是光速。

电场是存在于电荷周围空间的一种物质，电荷与电荷之间的相互作用是通过电场来传递的，相对于观察者静止的电荷所产生的的电场称为静电场。

原子力是一种表面力，主要包括范德华力、静电力、磁力等。利用隧道电流、光束偏转或压敏电阻等方法，可以检测到微细针尖与物体之间的原子力，形成待测物体的表面形貌像，也可以用于检测微纳材料的力学性能及进行微纳结构加工。

在库仑定律中，真空中两个静止点电荷之间的相互作用力的力大小，与这两个点电荷所带电量

和

的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两电荷连线上，同号电荷相排斥，异号电荷相吸引。作用力的大小可以表示为

，其中

是库仑常数，

。

卡文迪许（英文名：Hon.H.Cavendish）的同心球电荷分布实验，比库仑的扭秤实验精确且早几十年，但是卡文迪许并没有发表自己的著作。直到1871年麦克斯韦主持剑桥大学的卡文迪许实验室后，卡文迪许的手稿才转到了麦克斯韦手中，麦克斯韦亲自动手重复了卡文迪许的许多实验，手稿经麦克斯韦整理后出版，他的工作才为世人所知。

卡文迪实验示意图

1785年，库仑凭借其在扭转力方面的知识，设计制作了一台精密的扭秤，进行了测定静电力与带电小球之间距离的关系的实验。他在一个直径和高均为12英寸(1英寸=0.0254m)的玻璃圆缸上端安一银质悬丝，悬丝下挂一横杆，杆的一端为木质小球，另一端贴一小纸片，供平衡之用。

库仑设计的扭秤

圆缸上有360个刻度，悬丝自由放松时，横杆上的小木球指到0。他先使另一个相同小球带电，然后使它与杆端小球接触后分开，以便两小球均带同种等量的电荷，互相排斥。当达到平衡时，在这一位置上扭力的大小与电排斥力的大小是相等的。库仑分别使小球相距36个刻度、18个刻度和9.5个刻度，大体上按缩短一半的比例来观测，结果悬丝分别扭转了36个刻度、144个多刻度和575.5个刻度。这表明间距为1:0.5:0.25，而转角为1:4:16，最后一个数据由于漏电而造成了一些偏差。从这样的实验中，库仑得出了“带同类电的两球之间的排斥力，与两球中心之间距离的平方成反比”的结论。扭秤实验对于测定同种电荷之间的静电斥力是非常灵敏而精确的，但在测定异种电荷之间的静电引力时就显得不是那么完美和方便了。库仑发现，在实验过程中，两个球很难达到平衡，即使是勉强达到了平衡，最后两球也往往会相碰，这是因为扭秤十分灵活，多少会出现左右摇摆。在利用扭秤实验不能得到令人满意的结果之后，库仑转换思路，通过将电的吸引力同地球对物体的吸引力进行类比，设计了电摆实验。经过严密的实验，库仑得出结论：“正电与负电的相互吸引力也是与距离的平方成反比的。”关于异种电荷吸引力的平方反比定律的确留实验证据，是来自库仑的电摆实验。这样，通过将扭秤实验和电摆实验所得结论结合库仑才真正地发现静电力与距离的平方反比关系。

扭秤实验概述图

高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线始于正电荷，终于负电荷。从估算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷；该定律描述了穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷数量之间的关系。

高斯定律可以通过库仑定律直接推导出来，实质上它是库仑定律的另一种表达形式。设

为真空中某一闭合由面，若

包围着一个点电荷

，则穿过

的电场强度通量依库仑定律导出的

应为

（式1）。因为

表示面积元

投影到以电荷

所在点为球心、以

为半径的球面上的面积

表示

对电荷

所在点张的立体角

，则式1中的积分应为

，将此式代入式1，得出

。考虑更一般情况，若在真空中某闭合曲面

内包围有

个离散的点电荷

，或者包围有密度为

的体电荷分布，则

可分别推广成为

和

。式中，闭合曲面

常称为高斯面，

是高斯面所包围的体积。上列诸式表明，在真空中穿过任一高斯面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的总电量与真空介电常数的比值，这就是真空中的高斯定律。

在静电学范畴内，库仑定律与高斯定律互为逆定理。库仑定律总结了真空中静止的点电荷之间相互作用的实验规律。高斯定律是把任意闭合而上的电场与该而所包围的净电荷量值联系起来的重要定理。例如：由高斯定律使用于点电荷，可有

，由此得出点电荷场强公式的矢量表示式为

；若将另一点电荷

放在距电荷

为

的一点上，则由场强定义可求出

受力为

，这正是库仑定律，这样就由高斯定律导出了库仑定律。

库仑定律可用于深入了解移动电荷产生的磁场的形式，因为根据狭义相对论，在某些情况下，磁场可以被证明是由电场引起的力的转换。当粒子的历史中不涉及加速度时，库仑定律可以假设在其自身惯性系中的任何测试粒子上，并得到求解麦克斯韦方程的对称论证的支持，如上所示。库仑定律可以扩展为移动相同形式的测试粒子。这一假设得到了洛伦兹力定律的支持，与库仑定律不同，洛伦兹力定律不仅限于稳态测试电荷。考虑到电荷对观察者来说是不变的，因此可以通过库仑定律给出的电荷参考系中测试电荷上的四个力的洛伦兹变换来推导，并通过洛伦兹力的形式给出的定义来归因磁场和电场。因此找到的均匀移动点电荷的场由下式给出：

式中

是点源的电荷，

是从点源到空间点的位置向量，

是带电粒子的速度矢量，

是带电粒子的速度除以光速和

是两者之间的角度

和

。这种形式的解不需要像狭义相对论框架中那样遵循牛顿第三定律（但又不违反相对论能量动量守恒）。需要注意的是，对于点电荷的非相对论速度，电场的表达式简化为库仑定律，并且非相对论极限中的磁场（近似

）可以应用于电流，得到Biot-Savart定律。由于库仑定律在其特定应用范围内的有效性，这些解在以延迟时间表示时也对应于由Liénard-Wiechert势的解给出的麦克斯韦方程的一般解。还要注意的是，关于静止电荷的高斯定律的球对称性对移动电荷无效，因为在问题中速度方向的规范破坏了对称性。对于上述两个方程，也可以手动验证与麦克斯韦方程组的一致性。

库仑势允许连续介质态（

），描述电子-质子散射，以及代表氢原子的离散束缚态。它也可以在两个带电粒子之间的非相对论极限内推导出来，如下所示：在Born近似下，在非相对论量子力学中，散射振幅

是：

这与以下各项进行比较：

查看两个相互散射的电子的（连接的）

矩阵条目，将一个具有“固定”动量的电子视为势源，而另一个则散射该势。使用费曼规则计算

矩阵元素，在非相对论极限下得到

；与

散射相比，必须丢弃

当它们由于与

相比，

中的动量本征态归一化不同而产生时，并得到：

；其中傅里叶变换两边，求解积分并取

最后将屈服

，作为库仑势。