指数函数

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指数函数(英文名:exponentialfunction)是指底数一定,指数为自变量的函数,形如y=a(a>0,a细胞分裂是一个有趣的现象,新细胞的生成速度极为迅速。以某细胞为例,它从1个分裂成2个,再从2个分裂成4个,以此类推。在第x次分裂后,得到的新细胞数量y与分裂次数x之间的关系可以用幂函数来表示:。这个幂函数的自变量是幂指数。通常,形如(a为常数且以,)的函数被称为指数函数,其定义域...

指数函数(英文名:exponential function)是指底数一定,指数为自变量的函数,形如y=a(a>0,a

基本概念

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细胞分裂是一个有趣的现象,新细胞的生成速度极为迅速。以某细胞为例,它从1个分裂成2个,再从2个分裂成4个,以此类推。在第x次分裂后,得到的新细胞数量y与分裂次数x之间的关系可以用幂函数来表示:

。这个幂函数的自变量是幂指数。通常,形如

(a为常数且以

)的函数被称为指数函数,其定义域为全体实数R。对于所有的指数函数,其值域都是

。指数函数中的系数必须为1。例如,

都是指数函数。而

不是指数函数。

数学解读

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指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。指数函数的性质随着底数 a 的取值不同而变化。当 a 大于 1 时,函数对负数 x 值变化平缓,对正数 x 值增长迅速,且在 x=0 处函数值为1;当 0 小于 a 小于 1 时,函数对负数 x 值增长迅速,对正数 x 值变化平缓,同样在 x=0 处函数值为1。其切线斜率可由在该点函数值乘以 ln(a) 计算得出。即由导数知识得:

指数函数

的图像总是位于 x 轴之上,且从左向右看向上递增。尽管函数值可以无限地接近 x 轴,图像永远不会触及 x 轴,因此 x 轴成为该图像的水平渐近线。作为指数函数的反函数,自然对数 ln(x) 在所有正数 x 上都有定义。在科学中,术语指数函数有时更一般地用于形如

的函数,其中 a 是不等于 1 的任何正实数。最初关注的是底数为欧拉数 e 的指数函数。需要注意的是,指数函数的定义可以扩展到更一般的情况,其中底数可以是任何正实数,而不仅限于 e。

基本性质

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对于f(x) = a

运算法则

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指数函数规则

指数函数性质

函数图像

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指数函数

  • 由指数函数

    与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。

  • 由指数函数

    与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。

  • 指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
  • 的图像关于y轴对称。

幂的比较

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指数函数比较大小常用的方法有做差法、函数单调性法、中间值法等。

  1. 如果底数相同,指数不同,则可以利用指数函数的单调性来判断大小。
  2. 如果底数不同,指数相同,则可以利用指数函数图像的变化规律进行比较,判断其大小关系。
  3. 如果底数与指数都不相同,则可以利用中间值法进行比较。

指数函数在比较三个及以上的数的大小时,可以先将其按照值的大小进行分组,再比较各组数之间的大小关系。此外在比较幂的大小时,也可以充分利用“1”来进行比较,即当底数与指数与“1”的大小关系相同时大于1,不同时小于1。

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词条目录
  1. 基本概念
  2. 数学解读
  3. 基本性质
  4. 运算法则
  5. 函数图像
  6. 幂的比较

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